Herleitung der Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltung)

Als Kontinuitätsgleichung bezeichnet man in der Strömungsmechanik die Gleichung zur Bilanzierung von Masseströmen und die damit verbundene Änderung der Dichte (Massenerhaltung).

Kontinuitätsgleichung für eindimensionale Strömungen

Die Erfahrung von Strömungsprozessen zeigt, dass die mit einem Stoffstrom verknüpfte Masse weder aus dem Nichts erzeugt noch vernichtet werden kann – sie bleibt stets erhalten. Mathematisch formuliert wird diese Erhaltung der Masse in der sogenannten Kontinuitätsgleichung.

Massenstromdichte am endlichen Volumenelement

Zur Herleitung der Kontinuitätsgleichung betrachten wir zunächst ein sehr kleines Volumenelement (Kontrollraum). Die Länge des Kontrollraums beträgt Δx und hat die Breite Δy sowie die Höhe Δz. Dieses endliche Volumenelement wird von einem kompressiblen Fluid durchströmt wird. Durch die seitlichen Flächen kann das Fluid dabei in das Volumenelement einströmen und über andere Flächen wieder verlassen.

Der Einfachheit halber betrachten wir zunächst nur eine Strömung in x-Richtung. Innerhalb einer infinitesimalen Zeit dt strömt dabei eine bestimmte Masse dm_x,ein in das Volumenelement ein. Auf der gegenüberliegenden Seite verlässt im selben Moment eine bestimmte Masse dm_x,aus das Volumenelement.

Die ein- bzw. ausströmende Masse ergibt sich über die Geschwindigkeit, mit die Strömung in das Volumenelement ein- bzw. ausströmt. Tritt die Strömung mit der Geschwindigkeit v_x,ein in das Volumenelement ein, dann legt sie innerhalb der Zeit dt die infinitesimale Strecke dx_x,ein=v_x,ein⋅dt zurück. Folgendes Volumen dV_x,ein strömt folglich in den Kontrollraum ein:

\begin{align}
&\text{d}V_\text{x,ein}=\Delta A \cdot \text{d}x_\text{x,ein} =\Delta A \cdot v_\text{x,ein} \cdot \text{d}t\\[5px]
\end{align}

Da es sich um eine infinitesimale (unendlich kleine) Strecke dx_x,ein handelt, kann innerhalb des eingeströmten Volumens von einer konstanten Dichte am Punkt des Eintritts in das Volumenelement ausgegangen werden. Beträgt die Dichte des Fluids beim Einströmen ϱ_x,ein, so ergibt sich die eingeströmte Masse dm_x,ein wie folgt:

\begin{align}
&\text{d}m_\text{x,ein}=\text{d}V_\text{x,ein} \cdot \rho_\text{x,ein} =\Delta A \cdot \rho_\text{x,ein} \cdot v_\text{x,ein} \cdot \text{d}t \\[5px]
\end{align}

Der pro Flächeneinheit eintretende Massenstrom in den Kontrollraum ist somit nur abhängig von der Dichte und der Geschwindigkeit. Dieser flächenspezifische Massenstrom \(\dot m^\text{*}\) wird auch als Massenstromdichte bezeichnet und ist zur besseren Unterscheidung im Vergleich zum absoluten Massenstrom mit einem Stern (*) gekennzeichnet:

\begin{align}
&\dot m_\text{x,ein}^\text{*} = \frac{\text{d}m_\text{x,ein}}{\Delta A \cdot \text{d}t} = \rho_\text{x,ein} \cdot v_\text{x,ein} \\[5px]
\label{m_ein}
&\underline{\dot m_\text{x,ein}^\text{*} =\rho_\text{x,ein} \cdot v_\text{x,ein}} \\[5px]
&\boxed{\dot m^\text{*} = \rho \cdot v}~~~\text{Massenstromdichte} \\[5px]
\end{align}

Das Produkt von Dichte und Strömungsgeschwindigkeit im Strömungsfeld eines Fluids wird Massenstromdichte genannt. Sie gibt die in Strömungsrichtung strömende Masse pro Zeit- und Flächeneinheit an (flächenbezogener Massenstrom)!

Bei kompressiblen Stoffen ist die Dichte in einem Strömungsfeld im Allgemeinen räumlich nicht konstant, sondern ändert sich meist von Ort zu Ort. Staut sich das Fluid bspw. im betrachteten Kontrollraum auf, so unterscheidet sich die Dichte und die Strömungsgeschwindigkeit am Austritt aus dem Kontrollraum von den Werten am Eintritt des Kontrollraums. Für die Massenstromdichte am Austritt gilt analog zur Gleichung (\ref{m_ein}):

\begin{align}
&\underline{\dot m_\text{x,aus}^\text{*} =\rho_\text{x,aus} \cdot v_\text{x,aus}} \\[5px]
\end{align}

Strömt in den Kontrollraum mehr Masse ein als ausströmt, dann erhöht sich die Masse innerhalb des Kontrollraums entsprechend (siehe Animation unten). Die Änderung der Masse \(\dot m_\text{KR}\) im Kontrollraum (KR) ergibt sich schließlich über die Differenz der Masse die einströmt und gleichzeitig wieder ausströmt (der Index x kennzeichnet lediglich, dass die Änderung der Masse im Kontrollraum auf eine Strömung in x-Richtung zurückzuführen ist – später werden wir nämlich noch Strömungsanteile in y- und z-Richtung berücksichtigen):

\begin{align}
\label{m}
& \underbrace{~~\dot m_\text{KR}~~}_\text{Änderung der Masse im KR} = \underbrace{~~\dot m_\text{x,ein}~~}_\text{einströmende Masse in den KR} – \underbrace{~~\dot m_\text{x,aus}~~}_\text{ausströmende Masse aus dem KR} \\[5px]
& \dot m_\text{KR} ~~=~~ \dot m_\text{x,ein}^\text{*} \cdot \Delta A~~ -~~ \dot m_\text{x,aus}^\text{*} \cdot \Delta A \\[5px]
& \boxed{\dot m_\text{KR} ~~=~~ \dot m_\text{x,ein}^\text{*} \cdot \Delta y\cdot \Delta z~~ -~~ \dot m_\text{x,aus}^\text{*} \cdot \Delta y \cdot \Delta z} \\[5px]
\end{align}

Massenstromdichte am infinitesimalen Volumenelement

Betrachten wir nun ein infinitesimales Volumenelement (Kontrollraum) in einer kompressiblen Strömung, bei dem sich entlang der x-Koordinate die Massenstromdichte und damit das Produkt von Dichte und Geschwindigkeit ändert. Entlang dieser x-Koordinate können wir einen Gradienten der Massenstromdichte definieren: ∂(ϱ⋅v_x)/∂x. Über die Länge dx des infinitesimalen Volumenelementes ergibt sich in x-Richtung somit folgende Änderung in der Massenstromdichte \(\text{d} \dot m_\text{x}^\text{*}\):

\begin{align}
& \underline{\text{d} \dot m_\text{x}^\text{*} =\frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x} \cdot \text{d}x} ~~~~~\text{Änderung in der Massenstromdichte entlang } \text{d}x\\[5px]
\end{align}

Am Austritt des Kontrollraums bestimmt sich die Massenstromdichte also wie folgt:

\begin{align}
& \dot m_\text{x,aus}^\text{*} =\dot m_\text{x,ein}^\text{*} +\text{d} \dot m_\text{x} \\[5px]
& \underline{\dot m_\text{x,aus}^\text{*} =\dot m_\text{x,ein}^\text{*} + \frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x} \cdot \text{d}x} ~~~~~\text{Massenstromdichte beim Austritt}\\[5px]
\end{align}

Die sich im Kontrollraum ergebende zeitliche Änderung der Masse \(\dot m_\text{KR}\) lässt sich mit Gleichung (\ref{m}) bestimmen, wobei an dieser Stelle die infinitesimalen Abmessungen dy bzw. dz treten:

\begin{align}
\require{cancel}
& \dot m_\text{KR} = \dot m_\text{x,ein}^\text{*} \cdot \text{d}y \cdot \text{d}z ~-~ \dot m_\text{x,aus}^\text{*} \cdot \text{d}y \cdot \text{d}z \\[5px]
& \dot m_\text{KR} = \dot m_\text{x,ein}^\text{*}\cdot \text{d}y \cdot \text{d}z ~-~ \left(\dot m_\text{x,ein}^\text{*}+ \frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x} \cdot \text{d}x \right) \cdot \text{d}y \cdot \text{d}z \\[5px]
& \dot m_\text{KR} = \cancel{\dot m_\text{x,ein}^\text{*}\cdot \text{d}y \cdot \text{d}z} ~-~ \cancel{\dot m_\text{x,ein}^\text{*} \cdot \text{d}y \cdot \text{d}z}~-~ \frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x} \cdot \text{d}x \cdot \text{d}y \cdot \text{d}z \\[5px]
&\dot m_\text{KR} = ~- \frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x} \cdot \underbrace{\text{d}x \cdot \text{d}y \cdot \text{d}z}_{\text{d}V} \\[5px]
\label{a}
&\underline{\dot m_\text{KR} = ~- \frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x} \cdot \text{d}V } \\[5px]
\end{align}

Das negative Vorzeichen bringt an dieser Stelle zum Ausdruck, dass sich bei einem positiven Gradienten die Masse im Volumenelement zeitlich verringert, da offensichtlich der austretende Massenstrom größer als der einströmende Massenstrom ist. Wenn sich die Masse im Volumenelement im Allgemeinen aber zeitlich ändert, dann ändert sich damit natürlich auch dessen Dichte ϱ zeitlich:

\begin{align}
\label{b}
&\underline{\dot m_\text{KR} = \frac{\partial \rho}{\partial t} \cdot \text{d}V} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass es sich bei der vorliegenden Betrachtungsweise um ein infinitesimales Volumenelement handelt, dem im Falle unendlich kleiner Abmessungen eine einzige sich zeitlich ändernde Dichte zugeordnet werden kann. Im nächsten Schritt werden wir sehen, dass die Größe des Volumenelementes ohnehin keine Rolle spielt und somit tatsächlich unendlich klein gewählt werden kann.

Beachte ferner, dass die Dichte in Strömungen im Allgemeinen nicht nur zeitlich variiert (bspw. bei instationären Strömungen), sondern sich auch von Ort zu Ort ändert (bspw. bei Querschnittsverengungen). Die zeitliche Änderung der Dichte ist deshalb eine partielle Ableitung der Dichtefunktion nach der Zeit.

Gleichung (\ref{b}) in Gleichung (\ref{a}) eingesetzt, ergibt schließlich folgenden Zusammenhang zwischen dem Gradienten der Massenstromdichte und der daraus resultierenden zeitlichen Änderung der Dichte in einem Punkt der Strömung:

\begin{align}
\require{cancel}
&\frac{\partial \rho}{\partial t} \cdot \cancel{\text{d}V} = ~- \frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x} \cdot \cancel{\text{d}V} \\[5px]
&\boxed{\frac{\partial \rho}{\partial t} = ~- \frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x}}~~~\text{Kontinuitätsgleichung eindimensionaler Strömungen} \\[5px]
\end{align}

Diese Gleichung wird schließlich als Kontinuitätsgleichung bezeichnet und gilt in dieser Form für eindimensionale Strömungen. Wie gesehen, resultiert diese Gleichung aus der Massenerhaltung. Die Kontinuitätsgleichung dient dazu die zeitliche Änderung der Dichte in beliebigen Punkten einer Strömung anhand des vorhandenen Strömungsfeldes (dargestellt durch die Vektoren der Massenstromdichte) zu ermitteln. Somit sind Aussagen über die zeitliche Entwicklung von instationären Strömungen kompressibler Fluide möglich. Dabei gilt gemäß der Kontinuitätsgleichung folgende Aussage:

Der Gradient der Massenstromdichte in einem Punkt einer Strömung entspricht der zeitlichen Änderung der Dichte in diesem Punkt!

Beachte, dass die Massenstromdichte eine vektoriellen Größe ist und in dieselbe Richtung zeigt die wie Strömungsgeschwindigkeit, da sie letztlich ein Produkt aus einer vektoriellen Größe (Geschwindigkeit) und einer skalaren Größe (Dichte) ist. Die Massenstromdichte ist im Prinzip eine mit der Dichte gewichtete Strömungsgeschwindigkeit. Zur Veranschaulichung von Strömungsfeldern siehe auch den Artikel Stromlinien, Bahnlinien, Streichlinien und Zeitlinien.

Kontinuitätsgleichung für dreidimensionale Strömungen

Die bisherige Betrachtung beschränkte sich auf eine eindimensionale Strömung in x-Richtung. Im Allgemeinen ist eine Strömung allerdings dreidimensional, d.h. die Strömungsgeschwindigkeit hat Anteile in alle drei Raumrichtungen. Man darf an einem Volumenelement deshalb nicht nur den Massenstrom in x-Richtung betrachten, sondern man muss auch die Strömungsanteile in y- und z-Richtung berücksichtigen. Es strömt sozusagen nicht nur über die vordere und hintere Fläche Masse in das Volumenelement ein bzw. aus diesem heraus aus, sondern auch über die seitlichen Flächen (y-Richtung) und die untere bzw. obere Fläche (z-Richtung).

Für die y- und z-Richtung lassen sich die hierauf jeweils zurückzuführenden zeitlichen Massenänderungen im Kontrollraum analog zur Gleichung (\ref{a}) ermitteln:

\begin{align}
\label{aa}
&\dot m_\text{x} = ~- \frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x} \cdot \text{d}V \\[5px]
\label{c}
&\dot m_\text{y} = ~- \frac{\partial (\rho v_\text{y})}{\partial y} \cdot \text{d}V \\[5px]
\label{d}
&\dot m_\text{z} = ~- \frac{\partial (\rho v_\text{z})}{\partial z} \cdot \text{d}V \\[5px]
\end{align}

Darin bezeichnen die Geschwindigkeiten v_x, v_y und v_z die Komponenten des Strömungsvektors v. Die sich im infinitesimalen Kontrollraum ergebende Änderung der Masse ist nun nicht mehr nur auf eine Strömung in x-Richtung zurückzuführen, sondern auch durch die Strömungsanteile in y- und z-Richtung. Analog zur Gleichung (\ref{b}) für den eindimensionalen Fall, gilt für den dreidimensionalen Fall nun:

\begin{align}
&\underbrace{\frac{\partial \rho}{\partial t} \cdot \text{d}V}_\text{Änderung der Masse im Kontrollraum} = \underbrace{\dot m_\text{x}+\dot m_\text{y} +\dot m_\text{z}}_{\text{einströmende Masse über die Grenzen des Kontrollraums}} \\[5px]
\end{align}

Gleichungen (\ref{aa}) bis (\ref{d}) in diese Gleichung eingesetzt, liefert schließlich die Kontinuitätsgleichung für dreidimensionale Strömungen:

\begin{align}
\require{cancel}
&\frac{\partial \rho}{\partial t} \cdot \cancel{\text{d}V}= ~- \frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x}\cdot \cancel{\text{d}V} – \frac{\partial (\rho v_\text{y})}{\partial y}\cdot \cancel{\text{d}V} – \frac{\partial (\rho v_\text{z})}{\partial z}\cdot \cancel{\text{d}V} \\[5px]
&\boxed{\frac{\partial \rho}{\partial t} = ~- \left[\frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x}+ \frac{\partial (\rho v_\text{y})}{\partial y}+ \frac{\partial (\rho v_\text{z})}{\partial z}\right]}~~~\text{Kontinuitätsgleichung} \\[5px]
\end{align}

Die Summe aus den partiellen Ableitungen nach dem Ort (Summe der Gradienten der Massenstromdichte) wird in der Mathematik auch als Divergenz (div) bezeichnet. Die Divergenz ist ein mathematischer Operator, der im Fall eines Strömungsfeldes Strömungen durch ein Volumenelement bilanziert. Die Divergenz lässt sich auch als Skalarprodukt von Nabla-Operator ∇ und Vektorfeld der Massenstromdichte ϱv schreiben:

\begin{align}
&\boxed{\frac{\partial \rho}{\partial t} = ~- \text{div}\left(\rho \vec v \right) }~~~\text{mit}~~~\text{div}\left(\rho \vec v \right) = \vec \nabla \cdot \rho \vec v =\frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x}+ \frac{\partial (\rho v_\text{y})}{\partial y}+ \frac{\partial (\rho v_\text{z})}{\partial z} \\[5px]
\end{align}

Für inkompressible Fluide ändert sich die Dichte nicht und ist deshalb zeitlich konstant. Die partielle Ableitung der Dichte nach der Zeit ist in diesen Fällen deshalb Null (∂ϱ/∂t=0). Zudem ist dann auch die Dichte räumlich konstant und kann deshalb vor den Divergenzausdruck geschrieben werden. Für inkompressible Stoffe lautet die Kontinuitätsgleichung somit wie folgt:

\begin{align}
&\boxed{\text{div}\left(\vec v \right) = 0} ~~~\text{Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide} \\[5px]
\end{align}

Anschauliche Interpretation der Divergenz

Vektorfelder können mit Pfeilen visualisiert werden. Die Länge der Pfeile gibt dabei den Betrag der vektoriellen Größe an und die Pfeilspitzen die Richtung. Man kann Vektorfelder aber auch anschaulich durch Feldlinien darstellen. Dabei gibt die Dichte der Feldlinien den Betrag der Feldstärke wieder und die Tangente and die Feldlinien die Vektorrichtung. Auf ähnliche Weise lässt sich auch das Strömungsfeld von Fluiden mit Hilfe von Stromlinien („Feldlinien“) visualisieren. Die Dichte der Stromlinien ist ein Maß für die Strömungsgeschwindigkeit und die Tangente an die Stromlinien gibt die Strömungsrichtung wieder.

Die untere Abbildung zeigt hierzu schematisch ein zweidimensionale Strömungsfeld. Man kann sich dabei vorstellen man gieße Wasser in ein Waschbecken und lasse dabei gleichzeitig den Abfluss offen. Das erhaltene Geschwindigkeitsfeld entspräche dann in vereinfachter Weise dem abgebildeten Strömungsfeld.

Am Punkt wo das Wasser auf das Becken trifft, ist aus zweidimensionaler Sicht eine Wasserquelle. In diesem Punkt wird das Wasser in der Strömungsebene sozusagen erzeugt (Beachte, dass wir hier den zweidimensionalen Fall betrachten und nicht den dreidimensionalen Fall, bei dem offensichtlich Wasser nicht einfach so erzeugt werden kann). Im Punkt des Abflusses verschwindet aus zweidimensionaler Sicht das Wasser wieder. In diesem Punkt wird das Wasser in der Strömungsebene sozusagen vernichtet.

Würde man auf dieses Vektorfeld den Divergenz-Operator anwenden, dann erhielte man am Punkt wo das Wasser „entsteht“ einen positiven Wert. Am Punkt wo das Wasser „vernichtet“ wird, ergäbe sich ein negativer Divergenzwert. Mit der Anwendung des Divergenz-Operators auf ein Vektorfeld kann kann man somit auf anschauliche Weise Quellen und Senken von Vektorfeldern sichtbar zu machen. Feldlinien oder Strömungslinien beginnen in Punkten positiver Divergenz (Quellen) und enden in Punkten mit negativer Divergenz (Senken). Die Tatsache, dass Feldlinien oder Strömungslinien in Quellen oder in Senken stark auseinanderlaufen, d.h. divergieren, ist schließlich auch der Grund für den Namen des Operators.

Der Divergenz-Operator wandelt ein Vektorfeld in ein Skalarfeld um und kann als Maß für die Quellstärke werden! Positive Divergenzen sind Quellen und negative Divergenzen sind Senken von Feldlinien!

Man kann sich anstelle des oberen Strömungsbildes auch vorstellen man hätte zwei elektrische Ladungen. Das erhaltene Feldlinienbild sähe im Prinzip genauso aus. Tatsächlich spielt auch bei diesem Feld die Divergenz als Maß für die Quellstärke (Maß für die elektrische Ladung) eine große Rolle. Dem Divergenz-Operator kommt deshalb bei sehr vielen Vektorfeldern eine große Bedeutung zu.

Es gibt aber auch Vektorfelder, die keine Quellen bzw. Senken besitzen und somit quellenfrei sind. Hierzu zählen bspw. magnetische Felder, deren Feldlinien keinen Beginn und kein Ende haben, sondern stets geschlossen sind. Auch inkompressible Strömungen sind aufgrund der Tatsache, dass Masse nicht erzeugt oder vernichtet werden kann, offensichtlich quellenfrei (Achtung: Das obere Beispiel des 2D-Strömungsfeldes diente nur als illustratives Beispiel).