Berechnung der Lagerkraft für Riementriebe

Erfahre in diesem Artikel mehr über die Berechnung der Lagerkraft von Riementrieben bei gegebener Vorspannung.

Berechnung der Lagerkraft

Die wirkenden Kräfte im Riemen pressen diesen auf die Scheibe und hierdurch wiederum auf das entsprechende Lager der Welle. Die Lagerkraft der Welle (auch als Achskraft oder Wellenkraft bezeichnet) steht somit mit den Trumkräften im Gleichgewicht. Über den Kosinussatz lässt sich diese Wellenkraft F_W aus der Zugtrumskraft F_Z und der Leertrumskraft F_L sowie aus dem dazwischenliegenden Umschlingungswinkel φ ermitteln:

\begin{align}
\label{lagerkraft}
F_W=\sqrt{F_Z^2 + F_L^2 – 2 \cdot F_Z \cdot F_L \cdot \cos(\varphi)} \\[5px]
\end{align}

Wie im Artikel Berechnung der Riemenlänge gezeigt, lässt sich der Umschlingungswinkel dabei mit Hilfe des Durchmessers der kleinen bzw. großen Scheibe d_k bzw. d_g sowie des Achsabstandes e bestimmen:

\begin{align}
\label{phi}
&\boxed{\varphi = \pi – 2 \cdot \arcsin\left( \frac{d_g-d_k}{2e}\right)} ~~~\text{Bogenmaß!} \\[5px]
\end{align}

Wird die Zug- bzw. Leertrumskraft über die Vorspannkraft F_V und die zu übertragende Umfangskraft F_U ausgedrückt (siehe Artikel Kraftübertragung am Riementrieb),

\begin{align}
\label{trumkraefte}
&F_Z = F_V + \tfrac{F_U}{2} ~~~~~\text{bzw.}~~~~~ F_L =F_V – \tfrac{F_U}{2} ~\text{,}  \\[5px]
\end{align}

dann kann die Wellenbelastung F_W auch wie folgt ausgedrückt werden:

\begin{align}
&F_W=\sqrt{\left(F_V + \tfrac{F_U}{2} \right)^2 + \left( F_V – \tfrac{F_U}{2} \right)^2 – 2 \cdot \left(F_V + \tfrac{F_U}{2} \right) \cdot \left( F_V – \tfrac{F_U}{2} \right) \cdot \cos(\varphi)} \\[5px]
\label{F_W}
&\boxed{F_W=\sqrt{2 F_V^2 \cdot \left[1-\cos(\varphi) \right] +  \tfrac{1}{2} F_U^2 \cdot \left[1+\cos(\varphi)\right] }  } \\[5px]
\end{align}

Für den Fall, dass der Umschlingungswinkel 180° (φ=π) beträgt, wird die Wellenbelastung maximal, da die Trumkräfte dann parallel sind und somit in vollem Maße wirken. Mit cos(π)=-1 folgt direkt aus der oberen Gleichung, dass die Wellenbelastung im späteren Lastbetrieb dem zweifachen Wert der dynamischen Vorspannkraft F_V entspricht:

\begin{align}
\label{wellenbelastung}
&F_{W,max}=2 \cdot F_V  \\[5px]
\end{align}

Die Lagerkraft entspricht maximal dem zweifachen Wert der dynamischen Vorspannung!

Einfluss der Fliehkräfte auf die Lagerkraft

Für die Berechnung Lagerkraft im Betriebszustand sind grundsätzlich keine Fliehkräfte zu berücksichtigen! So muss zwar der Riemen im Ruhezustand um den Betrag der zu erwartenden Fliehkraft stärker gespannt werden, diese zusätzliche Riemenfliehkraft wirkt aber im späteren Betrieb nicht auf die Lager, da der Riemen ja mit genau diesem Kraftbetrag versucht ist von der Scheibe abzuheben und damit das Lager im selben Maße wieder entlastet. Die angreifenden Fliehkräfte am Riemen und die zusätzlich im Riemen wirkende Riemenfliehkraft bilden ein geschlossenes Kräftepolygon und löschen sich in ihrer Wirkung somit aus. Relevant für die Lagerbelastung ist im Betriebszustand somit nur die dynamische Vorspannung F_V.

Die im Betrieb vorhandenen Fliehkräfte werden durch die zusätzliche Vorspannung (Riemenfliehkraft) ausgeglichen und beeinflussen somit die Lagerkraft nicht!

Zusammenhang zwischen maximaler Umfangskraft und Lagerkraft (Durchzugsgrad)

Im Artikel Kraftübertragung am Riementrieb konnte gezeigt werden, dass die maximal übertragbare Umfangskraft F_U,max über folgende Formel mit der dynamischen Vorspannkaft F_V zusammenhängt:

\begin{align}
\label{vorspannung}
&F_{V,min} = F_{U} \cdot \frac{e^{\mu \cdot \varphi}+1}{2 \left(e^{\mu \cdot \varphi} -1 \right) } ~~~ \text{bzw.} ~~~\underline{F_{V} = F_{U,max} \cdot \frac{e^{\mu \cdot \varphi}+1}{2 \left(e^{\mu \cdot \varphi} -1 \right) }} \\[5px]
\end{align}

Wird nun Gleichung (\ref{vorspannung}) in Gleichung (\ref{wellenbelastung}) eingesetzt, so ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen der vorhandenen Lagerkraft F_W und der damit verbundenen maximal übertragbaren Umfangskraft F_U,max:

\begin{align}
&F_W=2 \cdot F_{U,max} \cdot \frac{e^{\mu \cdot \varphi}+1}{2 \left(e^{\mu \cdot \varphi} -1 \right) } \\[5px]
&F_W=F_{U,max} \cdot \frac{e^{\mu \cdot \varphi}+1}{e^{\mu \cdot \varphi} -1} \\[5px]
\label{durchzugsgrad}
&F_{U,max} = F_W \cdot \frac{e^{\mu \cdot \varphi}-1}{e^{\mu \cdot \varphi} +1} \\[5px]
&\boxed{F_{U,max} = F_W \cdot \phi } ~~~~~\text{mit}~~~~~\boxed{\color{red}{\phi = \frac{e^{\mu \cdot \varphi}-1}{e^{\mu \cdot \varphi} +1}}} ~~~\text{als Durchzugsgrad} \\[5px]
\end{align}

Der in der oberen Gleichung rot markierte Term wird auch als Durchzugsgrad ϕ bezeichnet. Ein Durchzugsgrad von 0,8 bedeutet anschaulich, dass maximal 80 % der im Betrieb vorhandenen Lagerkraft für die Nutzkraftübertragung zur Verfügung steht (gilt strenggenommen nur für parallele Trume).

Umso höher der Durchzugsgrad, desto höher die maximale Umfangskraft im Vergleich zur Lagerkraft, d.h. eine hohe „effiziente Kraftübertragung“!

Einstellen der Vorspannkraft über die Lagerkraft

Das Aufbringen der Vorspannkraft im lastfreien kann über das Einstellen der Lagerkraft erfolgen. Denn im lastfreien Stillstand, d.h. wenn keine Umfangskraft übertragen wird (F_U=0), ist die Wellenbelastung nur durch die Gesamtvorspannkraft F_V,ges bestimmt (Beachte, dass in diesem Fall die Gesamtvorspannkraft auch die auszugleichenden Riemenfliehkräfte beinhaltet!):

\begin{align}
&\boxed{F_{W,0}=F_{V,ges} \cdot \sqrt{2 \left[1-\cos(\varphi) \right] }  } \\[5px]
\end{align}

Somit kann durch Anpassung bzw. Messung der Lagerkraft im lastfreien Zustand F_W,0 die Gesamtvorspannkraft F_V,ges eingestellt bzw. bestimmt werden:

\begin{align}
&\boxed{F_{V,ges}=F_{W,0} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \left[1-\cos(\varphi) \right] }}  } \\[5px]
\end{align}